Formules de trigonométrie

Fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle.

Sinus de A = sin A = a/c

Cosinus de A = cos A = b/c

Tangente de A = tan A = a/b

Cotangente de A = cotan A = b/a

 

 

Formules fondamentales :

sin²x + cos²x = 1

tan x = sin x/cos x

Fonctions trigonométriques dans un triangle quelconque.

c² = a² + b² - 2ab cos C

où s est le demi périmètre du triangle.


Valeurs des sinus, cosinus et tangentes des angles courants.

Angle en radian sin x cos x tan x cotan x
0 0 1 0 //////////

1

1

1

0

///////

0

-

- -
- -1 -1
- - -
0 -1 0 /////////

Formules d'addition :

sin (x + y) = sin x.cos y + cos x.sin y

sin (x - y) = sin x.cos y - cos x.sin y

cos (x + y) = cos x.cos y - sin x.sin y

cos (x - y) = cos x.cos y + sin x.sin y

On passe facilement de la somme à la différence en sachant que :

sin (-x) = -sin (x)

cos (-x) = cos (x)

tan (-x) = -tan (x)

Ce qui est dû à la parité des fonctions trigonométriques. sinus et tangente sont impaires et cosinus est paire.

Relations entre les fonctions trigonométriques des angles compris entre 0 et pi/2

 
sin x = u
cos x = u
tan x = u
cotan x = u
sin (x) u u / 1 /
cos (x) u 1 / u /
tan (x) u / / u u 1 / u
cotan (x) / u u / 1 / u u

Formules de l'angle double, moitié.

Angle double :

sin (2.x) = 2.sin (x).cos (x)

cos (2.x) = cos² (x) - sin² (x) = 1 - 2.sin² (x) = 2.cos² (x) - 1

 

Angle moitié :

Le second membre est négatif pour les angles x/2 compris entre π et 2π

 

Le second membre est négatif pour les angles x/2 compris entre π/2 et 3π/2

 

On retrouvre facilement la tangente de x/2 dès que l'on sait que :

Puissances des fonctions trigonométriques.

sin² (x) = 1/2 - (cos (2x))/2

cos² (x) = 1/2 + (cos (2x))/2

On retrouve facilement les autres puisances des fonctions trigonométriques en applicant les formules d'Euler :

et où i² = -1

On élève le deuxième membre à la puissance désirée, on développe à l'aide de la formule du binôme de Newton et on fait les regroupements pour obtenir des sommes de sinus et de cosinus.

Exemple :

On veut linéariser la puissance quatrième de sin x, on pose :

On sait que la puissance 4 de i est 1 et on utilise le binôme de Newton :

On regroupe les termes qui peuvent former des sinus ou des cosinus :

puis vient :

enfin on tire de ça, les cosinus :

Et voili et voilo ! Essayez avec la puissance 15ème de cos (x²-1) sans vous tromper, ça vous occupera pour une longue soirée d'hiver !!!

Sommes, différences et produits des fonctions trigonométriques.

sin (x) + sin (y) = 2.sin (x + y).cos(x - y)

sin (x) - sin (y) = 2.cos(x + y).sin (x - y)

cos (x) + cos (y) = -2.cos(x + y).cos (x - y)

cos (x) - cos (y) = 2.sin(x + y).sin (x - y)

sin (x).sin (y) = (cos (x - y) - cos(x + y))

cos (x).cos (y) = (cos (x - y) + cos(x + y))

sin (x).cos (y) = (sin (x - y) - sin(x + y))

Développements en séries entières.

pour tout x

pour tout x

pour |x| < π/2 et Bn, n ième nombre de Bernouilli.

Relation entre les fonctions circulaires inverses.

Arc sin x + Arc cos x = p/2
Arc tan x + Arc cotan x = π/2
Arc cos 1/x + Arc sin 1/x = π/2
Arc sin(-x) = - Arc sin x
Arc cos(-x) = π - Arc cos x
Arc tan(-x) = -Arc tan x