Comment trouver la fraction irréductible

Comment simplifier une fraction et obtenir la fraction irréductible ?

 

Le problème.

On a souvent besoin, pour des raisons de simplification de calcul, d'avoir des fractions dont le numérateur et le dénominateur sont les plus petits possible. Il existe une méthode pour avoir cette fraction unique qui porte le nom d'irréductible.

La propriété.

La simplification de fractions se fait à l'aide de cette propriété.

On peut multiplier ou diviser le numérateur ET le dénominateur par un MEME nombre NON NUL sans changer la valeur de cette fraction.

Dit de manière plus mathématique :

$\frac{a}{b}=\frac{ka}{kb}$Ce qui est peut être plus « compréhensible » pour la simplification dans le sens avec bien sur a, b et k différents de 0.

La méthode.

La méthode la plus longue et la plus intuitive est de reconnaître les diviseurs communs du numérateur et du dénominateur et de les diviser par ces nombres. Aussi faut-il connaître les principaux critères de divisibilité (voir Critères de divisibilité.)

Une autre méthode consiste à calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur et de les diviser par ce nombre.

Exemples.

1er exemple sans PGCD.

On doit simplifier la fraction

On connaît le critère de divisibilité (voir ici) par 5 et on sait que 75 et 330 sont tous les deux divisibles par 5, on a donc :

Les deux nombres sont divisibles par 3 donc :

Quand s'arrête-t-on ?

On sait que 5 est premier et comme 22 n'est pas un multiple de 5, on ne peut plus diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

La fraction est donc la fraction irréductible.

2ème exemple avec le PGCD.

On a le même problème que ci-dessus. On calcule le PGCD de 75 et 330.

PGCD(75 ; 330) = 15.

En divisant 75 par 15 on trouve que et en divisant 330 par 15 on trouve que

On écrit : qui est la fraction irréductible car on a simplifié par tous les diviseurs communs.

La majorité des calculatrices scientifiques donne ce résultat.

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