Comment démontrer que racine de 2 est irrationnel.

Cette démonstration classique s'appuie sur un raisonnement par l’absurde. On pose une hypothèse comme vraie au départ et on démontre que cette hypothèse ne peut pas être vraie ce qui aboutit à une contradiction.

Supposons que racine de deux soit rationnel, on peut donc l'écrire sous la forme d'une fraction irréductible avec p et q premiers entre eux (ils n'ont qu' 1 comme diviseur commun).
On a donc
En élevant au carré : Soit 2q² = p². On en conclut que p² est pair puisque égal à un multiple de 2.
Donc p est pair. Il peut donc s'écrire p=2k. On a donc 2q²= (2k)²=4k²
En divisant chaque membre de l’égalité par 2, il vient : q²=2k²
On en déduit que q est pair aussi donc p et q ne sont pas premiers entre eux puisqu'ils ont au moins un diviseur commun autre que 1 ! Ceci est en contradiction avec l'hypothèse de départ : " p et q premiers entre eux".
On en conclut que n'est pas un rationnel.

 

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