Comment résoudre une équation du second degré avec le discriminant

Problème

Donner la ou les solutions d'une équation du second degré, ou dire si elle n'a pas de solution dans .

La propriété

Soit l 'équation $ax^2+bx+c=0$ où et c réels et

il faut connaître le discriminant  $$ \Delta = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}$$

Si $\Delta > 0$, alors l'équation $ ax^2+bx+c=0 $ a 2 solutions (racines)

$$ x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} $$

$$ x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} $$

si $\Delta = 0$  alors la solution unique est

$$ x_1 = \frac{-b}{2a}$$

si $\Delta < 0 $ alors l'équation n'a pas de solution réelle.

La méthode

On calcule de discriminant $\Delta$ et on le compare à 0.

On calcule les ou la racines si elles sont réelles à l'aide de la formule.

Exemples

Cas où l'équation a deux solutions réelles,

On doit résoudre dans l'équation $ x^2-10x+39=0$

On $a=1$ ; $b=-10$ et $c=39$ on a $a\ne0$ on peut calculer le discriminant.

$\Delta = 10^2 - 4 \times 1\times39=100+156=256$

$\Delta > 0$ donc l'équation a deux solutions réelles :

$$ x_1=\frac{-(-10)+\sqrt{256}}{2\times1}=13$$

$$ x_2=\frac{-(-10)-\sqrt{256}}{2\times1}=-3$$

Cas où l'équation a une seule solution réelle

Soit à résoudre l'équation du second degré $4x^2+12x+9=0$

On a $a=4$ ; $b=12$ et $c=9$, $a\ne0$

On calcule de discriminant

$\Delta=12^2-4\times4\times9-144-144=0$

Le discriminant est nul donc l'équation n'a qu'une solution réelle :

$$x_1=\frac{-12}{2\times4}=\frac{-3}{2}$$

Cas où il n'y a pas de solution réelle.

Soit à résoudre dans l'équation du second degré $x^2+3x+2=0}

On calcule le discriminant

$\Delta =3^2-4\times2\times2=9-16=-7$

Le discriminant est strictement négatif donc l'équation n'a pas de solution réelle.

Niveau: