Comment déterminer une fonction affine connaissant deux images et leurs antécédents ?

Le problème.

On sait que la fonction recherchée est une fonction affine (sinon le problème n'a pas de sens) et on connaît deux antécédents et leurs images par cette fonction. Il s'agit de déterminer la fonction affine.

Les propriétés.

  1. On sait qu'une fonction affine est, pour a et b données, le procédé qui à tout nombre x associe le nombre ax + b. Ce qu'on écrit $f:x\mapsto ax+b$
  2. Une fonction affine est entièrement déterminée par la donnée de a (coefficient) et b (image de 0) dans $f(x)=ax+b$.
  3. Le taux d'accroissement d'une fonction affine est donné par la formule :

 $a=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ où $x_0$ et $x_1$ sont deux antécédents distincts.

La méthode.

Elle est similaire au calcul d'une équation de droite connaissant deux points.

On calcul le coefficient de proportionnalité qui est égal au taux d'accroissement.

Pour trouver l'image de 0 : b, on écrit une équation en se servant de la propriété 2 dans laquelle a est le coefficient calculé, et x un des deux antécédents donnés (n'importe lequel) et f(x) son image.

L'exemple.

Soit une fonction affine f. On donne $f(2)=1$  et $f(-1)=-3$.

On calcule le coefficient a.

$$a=\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}$$

$$a=\frac{1-(-3)}{2-(-1)}=\frac{1+3}{2+1}$$

$$a=\frac43$$

La fonction est telle que $$f(x)=\frac{4}{3}x+b $$

On cherche maintenant à déterminer b.

Prenons $f(2)=1$ et écrivons l'équation $f(2)=\frac43\times2+b$ or $f(2)=1$ ; on a donc :

$$1=\frac43\times2+b$$

$$b=1-\frac83=\frac33-\frac83$$

$$b=-\frac53$$

La fonction affine f est donc

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